DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX)

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX)

LES ÉQUATIONS aux dérivées partielles sont sans doute le domaine des mathématiques où le lien avec la physique est le plus étroit. Il ne s’agit pas seulement du fait que les recherches les plus actives, et en général les plus importantes, ont été motivées par des questions de physique. Il s’agit aussi, et surtout, du fait que les idées apportées par la physique, et notamment la mécanique, transposées ensuite dans un cadre plus général, ont fourni les outils les plus puissants de leur étude. On en trouvera plusieurs exemples dans les articles qui suivent.

Cette étude a eu, à son tour, une influence fondamentale sur le développement général de l’analyse mathématique au XVIII^e siècle. Le cas le plus célèbre est la question de savoir si toute fonction est développable en série trigonométrique, posée d’abord par les travaux de d’Alembert et Daniel Bernoulli sur l’équation des cordes vibrantes, puis par ceux de Fourier sur l’équation de la chaleur ^{[cf. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES]}. On peut citer aussi la théorie du potentiel ^{[cf. POTENTIEL ET FONCTIONS HARMONIQUES]}, née de l’étude de la gravitation et du potentiel électrique, et devenue un domaine à part entière de l’analyse mathématique. Les méthodes par dualité, que George Green appliquait déjà aux équations aux dérivées partielles dans la décennie des années 1830, ont joué un rôle essentiel; elles ont été reprises par Henri Poincaré, puis par Jacques Hadamard. Ce point de vue des solutions faibles des équations aux dérivées partielles à été systématiquement utilisé par l’école russe (Izraïl Gelfand, Sergueï Sobolev) et a amené Laurent Schwartz à l’élaboration de la théorie des distributions (cf. théorie des DISTRIBUTIONS) qui constitue de nos jours le cadre naturel de la théorie des équations aux dérivées partielles linéaires.

La théorie des distributions s’impose aussi pour les problèmes non linéaires, car les données non linéaires génèrent, même à partir de données régulières, des solutions singulières (interprétables dans le langage des distributions). Ces idées apparaissent déjà chez Riemann (1860).

L’interaction entre le développement de la physique et de l’analyse fonctionnelle s’est effectuée par l’intermédiaire des équations aux dérivées partielles: l’espace de Hilbert L² est l’espace naturel des solutions de l’équation de Schrödinger de la mécanique quantique; de même, l’espace de Sobolev H¹ (cf. 2 Le type elliptique , in équations aux DÉRIVÉES PARTIELLES - SOURCES ET APPLICATIONS, et 6 Opérations sur les représentations et les approximations , in représentation et approximation des FONCTIONS) est l’espace naturel des solutions des problèmes de mécanique des milieux continus décrits par des équations elliptiques.

La transformation de Fourier est particulièrement bien adaptée à l’étude des équations à coefficients constants et elle a permis de disposer, dès le début du siècle, d’exemples explicites qui ont servi de modèles. L’étude fine de cette transformation apparaît lorsque l’on veut établir des relations entre la propagation ondulatoire et la propagation corpusculaire (par l’intermédiaire des équations des ondes ou de Schrödinger). Une difficulté fondamentale est la suivante: il n’existe pas de fonction non nulle à support compact dont la transformée de Fourier soit aussi à support compact. Cette observation simple est une version mathématique naïve de l’inégalité de Heisenberg. C’est pour essayer de contourner cette difficulté que Hormander et ses collaborateurs ont introduit les concepts de microlocalisation.

Encyclopédie Universelle. 2012.